曲率计算公式大全（曲率和挠率 空间曲线论的基本公式）

对于空间曲线，只知道曲线上点的切线和法平面还不够，还需要引入密切平面，曲率和挠率的概念就是在密切平面上的。它们分别描述了曲线的弯曲和扭转。

定义1(密切平面)：过空间曲线上P点的切线和P的临点Q可作一平面σ，当Q点沿着曲线趋近于P时，平面σ的极限位置π称为曲线在P点的密切平面。

下面给出一个定理显示了密切平面是由切向量和切向量的微商决定的。（注：向量函数的微商即导矢，对应于数值函数的导数。）

定理1（密切平面的方程）：

对于C2类的曲线（C）：r=r(t)，如果r''(t0)和r'(t0)不平行，则曲线(C)在点P(t0)点的密切方程是：（R-r(t0),r'(t0),r''(t0)）=0。

R代表密切平面上任一点的向径，这个方程的意思就是R-r(t0)可以表示成r'(t0)和r''(t0)的线性组合，学过线性代数的读者应该知道，这意味着R-r(t0)、r'(t0)、r''(t0)三个向量线性相关，所以可以用行列式表示成

证明：

根据向量函数的泰勒公式：

由于平面σ过切线，也过PQ，所以当然过切线和PQ的所有线性组合，取一种线性组合

下面介绍空间曲线的基本三棱形。上一篇说过自然参数表示的曲线方程，

很显然它们都是单位向量。

定义2（伏雷内标架）： 上述 α叫单位切向量， β叫主法向量， γ叫副法向量。它们称为曲线上P点的伏雷内标架，伏雷内标架构成右手系。

α和 β构成密切平面，α和 γ构成从切平面，β和 γ构成法平面。显然密切平面方程为：（R-r，α，β）=0，从切平面方程为：（R-r，α，γ）=0，法平面的方程为：（R-r，β，γ）=0。因为γ是由α，β生成的，所以只用α，β，从切平面方程：（R-r）· β=0 , 法平面的方程为：（R-r）· α=0。

下面介绍曲率和挠率。曲率表示的是曲线的弯曲程度，挠率表示的是曲线的扭转程度，曲率和挠率可以完全决定一条曲线。

定义3（曲率）：

空间曲线C在P点的曲率为

其中Δs是P点及其临近点间的弧长，Δφ表示曲线在P点和其临近点切向量的夹角。

前面说了α是单位切向量，单位切向量的微商α'(s)的模就是曲率，因为

定义4（挠率）：

这三条公式就是空间曲线论的基本公式。

定理2（空间曲线论的基本公式）：